Séries hypergéométriques basiques, $q$-analogues des valeurs de la fonction zêta et séries d'Eisenstein

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dc.creatorKrattenthaler, C.
dc.creatorRivoal, T.
dc.creatorZudilin, W.
dc.date2003-11-04
dc.date.accessioned2026-07-07T06:24:36Z
dc.date.available2026-07-07T06:24:36Z
dc.descriptionNous étudions la nature arithmétique de $q$-analogues des valeurs $ζ(s)$ de la fonction zêta de Riemann, notamment des valeurs des fonctions $ζ_q(s)= \sum_{k=1} ^{\infty}q^k \sum_{d\mid k} ^{}d^{s-1}$, $s=1,2,...$, o{ù} $q$ est un nombre complexe, $| q|<1$ (ces fonctions sont intimenent liées au monde automorphe). Le théorème principal de cet article montre que, si $1/q$ est un nombre entier différent de $\pm1$ et si $M$ est un nombre impair suffisamment grand, alors la dimension de l'espace vectoriel engendré sur $\mathbb Q$ par $1,ζ_q(3), ζ_q(5),..., ζ_q(M)$ est au moins $c_1\cdot\sqrt{M}$, avec $c_1=0,3358$. Ce résultat peut être considéré comme un $q$-analogue du résultat de \cite{ri, br}, qui affirme que la dimension de l'espace vectoriel engendré sur $\mathbb Q$ par $1,ζ(3),ζ(5),...,ζ(M)$ est au moins $c_2\cdot\log{M}$, avec $c_2=0,5906$. Pour les mêmes valeurs de $q$, une minoration similaire pour les valeurs $ζ_q(s)$ aux entiers $s$ pairs nous permet de redémontrer un cas particulier d'un r{é}sultat de Bertrand \cite{ber} qui affirme la transcendance sur $\mathbb{Q}$ de l'une des deux séries d'Eisenstein $E_4(q)$ et $E_6(q)$ pour tout nombre complexe $q$ tel que $0<| q| <1$.
dc.descriptionAmS-LaTeX; 26 pages
dc.identifierhttps://arxiv.org/abs/math/0311033
dc.identifierhttp://arxiv.org/abs/math/0311033
dc.identifierJ. Inst. Math. Jussieu 5 (2006), 53-79.
dc.identifier.urihttp://salesiana.dossiersoluciones.com/handle/123456789/96600
dc.subjectNumber Theory
dc.subjectClassical Analysis and ODEs
dc.subjectPrimary 11J72; Secondary 11M36, 33D15
dc.titleSéries hypergéométriques basiques, $q$-analogues des valeurs de la fonction zêta et séries d'Eisenstein
dc.typetext

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